06 mayo, 2013

Rango de una matriz


Es el número de filas o columnas linealmente independientes, utilizando 
esta definición se puede calcular usando el método de Gauss.
También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor 
submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definición se puede calcular
 el rango usando determinantes.

Cálculo del rango de una matriz por determinantes

matriz
1. Podemos descartar una línea si:.
Todos sus coeficientes son ceros.
Hay dos líneas iguales.
Una línea es proporcional a otra.
Una línea es combinación lineal de otras.
Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos 
primeras: c= c1 + c2
matrices
2. Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que
 al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su
 determinante no será nulo.
|2|=2≠0
3. Tendrá rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2,
 tal que su determinante no sea nulo.
determinante
4. Tendrá rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3
, tal que su determinante no sea nulo.
determinante
Como todos los determinantes de las submatrices son nulos no tiene rango 3, por tanto r(B) = 2.
5. Si tiene rango 3 y existe alguna submatriz de orden 4, cuyo 
determinante no sea nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo se
 trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4.